在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

自顶向下：从 (0, 0) 点开始走，在每个位置都有两种可能：往右走或者往下走，取礼物价值更大的那个方案。相当于时枚举，列出所有可能

// 此解法会超时， 因为有一些访问过的点重复计算了
int helper(vector<vector<int>>& grid, int row, int col) {
    int rMax = grid.size(), cMax = grid[0].size();
    if (row == rMax || col == cMax) {
        return 0;
    }
    return grid[row][col] + max(helper(grid, row + 1, col), helper(grid, row, col + 1));
}
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
    return helper(grid, 0, 0);
}

// 用容器记录访问过的点，再次遇到时直接给出结果
int helper(vector<vector<int>>& grid, unordered_map<int, int> &visited, int row, int col) {
    int rMax = grid.size(), cMax = grid[0].size();
    if (row == rMax || col == cMax) {
        return 0;
    }
    int num = row * 1000 + col; // 因为 row 和 col 都小于200，可以用一个整数表示
    if (visited.count(num)) {
        return visited[num];
    }
    visited[num] = grid[row][col] + max(helper(grid, visited, row + 1, col), helper(grid, visited, row, col + 1));
    return visited[num];
}
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
    unordered_map<int, int> visited;
    return helper(grid, visited, 0, 0);
}

自底向上：最后到达的点是棋盘右下角 (m - 1, n - 1); 能到达右下角的点只有两个: (m - 2, n - 1)、(m - 1, n - 2); 选其中礼物总价值（从 (0, 0) 走到那个点）最大的点，而这个点的礼物总价值又由它左侧和上方的点决定。一直往上找，直到 (0, 0) 点
设 dp[i][j] 表示：从 (0, 0) 到 (i, j) 能拿到的礼物的最大价值。

int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
    int row = grid.size(), col = grid[0].size();
    vector<vector<int>> dp(row, vector<int>(col));
    dp[0][0] = grid[0][0]; // (0, 0) 点能拿到的礼物最大总价值
    for (int i = 1; i < row; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]; // 第一列的每个点能拿到的礼物最大总价值
    }
    for (int j = 1; j < col; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]; // 第一行的每个点能拿到的礼物最大总价值
    }

    for (int i = 1; i < row; i++) {
        for (int j = 1; j < col; j++) {
            dp [i][j] = grid[i][j] + max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
    return dp[row - 1][col - 1];
}